|
Разработан эффективный алгоритм поиска конгруэнтных чисел |
|
|
Автор Пола
|
Математики из Великобритании, США, Австралии и Уругвая составили полный список конгруэнтных чисел, которые лежат в промежутке от нуля до триллиона.
Конгруэнтными называют те натуральные числа, которые могут представлять собой значение площади прямоугольного треугольника со сторонами, выраженными рациональными числами.
Наименьшее конгруэнтное число — 5 (соответствующий ему треугольник имеет стороны длиной 3/2, 20/3 и 41/6); за ним следуют 6, 7, 13, 14, 15, 20 и так далее.
Стоит отметить простое правило: если число s конгруэнтно, то конгруэнтным будет и число s•n2, где n — натуральное. Основную сложность, таким образом, представляет поиск новых конгруэнтных чисел, свободных от квадратов.
Впервые конгруэнтными числами заинтересовался персидский математик
Ал-Караджи (ок. 953–1029), на которого оказали влияние труды греческого
ученого Диофанта (ок. 21–290), затрагивавшего смежные проблемы.
В 1225 году Фибоначчи выяснил, что числа 5 и 7 конгруэнтны, и предположил, что число 1, напротив, не является конгруэнтным; лишь в 1659 году это утверждение было доказано Пьером Ферма.
К 1915 году были определены все конгруэнтные числа в пределах 100, однако в пределах 1 000 некоторые неясности сохранялись даже к 1980 году.
В 1982 году Джеррольд Таннел (Jerrold Tunnell) из Университета Ратджерса (США) сумел значительно продвинуться в этом направлении, связав конгруэнтные числа с другим хорошо изученным математическим объектом — эллиптическими кривыми.
Исследователь сформулировал довольно простой критерий Таннела, который используется для проверки того, конгруэнтно ли заданное число.
Строго доказать истинность этого критерия, однако, никому пока не удалось: доказательство тесно связано с одной из открытых проблем современной математики — гипотезой Бёрча и Свиннертон-Дайера, за решение которой установлена награда в один миллион долларов.
Авторы работы также полагались в своих расчетах на критерий Таннела. Для того чтобы обеспечить точность результатов, ученые выполнили вычисления дважды, на двух разных компьютерах и по разным оригинальным алгоритмам.
Первый компьютер был построен на базе четырех процессоров AMD Opteron 8378 Quad-Core с тактовой частотой 2,4 ГГц, второй — на базе четырех процессоров Intel Xeon X7460 с частотой 2,66 ГГц; оба компьютера оснащались оперативной памятью объемом 128 Гб.
Впрочем, даже такого объема оказалось недостаточно для того, чтобы оперировать гигантскими числами, которые были задействованы в процессе вычисления, и исследователям приходилось активно использовать дисковую подсистему.
В результате ученые составили список из 3 148 379 694 конгруэнтных чисел, которые не превышают триллиона.
По оценкам их коллег, в промежутке от триллиона до квадриллиона (1015) должно содержаться еще около 800 млрд конгруэнтных чисел; исследователи планируют проверить это предположение, когда у них появится компьютер с жесткими дисками соответствующего объема.
|
|
|
|
|
Мысли и слова великих людей
Глупости так глубоко в нас засели, что всегда что-нибудь останется; но постараемся оставить лишь самое неизбежное. /Цицерон/
Самое интересное на сайте
|
|