В 1225 году Фибоначчи выяснил, что числа 5 и 7 конгруэнтны, и предположил, что число 1, напротив, не является конгруэнтным; лишь в 1659 году это утверждение было доказано Пьером Ферма.
К 1915 году были определены все конгруэнтные числа в пределах 100, однако в пределах 1 000 некоторые неясности сохранялись даже к 1980 году.
В 1982 году Джеррольд Таннел (Jerrold Tunnell) из Университета Ратджерса (США) сумел значительно продвинуться в этом направлении, связав конгруэнтные числа с другим хорошо изученным математическим объектом — эллиптическими кривыми.
Исследователь сформулировал довольно простой критерий Таннела, который используется для проверки того, конгруэнтно ли заданное число.
Строго доказать истинность этого критерия, однако, никому пока не удалось: доказательство тесно связано с одной из открытых проблем современной математики — гипотезой Бёрча и Свиннертон-Дайера, за решение которой установлена награда в один миллион долларов.
Авторы работы также полагались в своих расчетах на критерий Таннела. Для того чтобы обеспечить точность результатов, ученые выполнили вычисления дважды, на двух разных компьютерах и по разным оригинальным алгоритмам.
Первый компьютер был построен на базе четырех процессоров AMD Opteron 8378 Quad-Core с тактовой частотой 2,4 ГГц, второй — на базе четырех процессоров Intel Xeon X7460 с частотой 2,66 ГГц; оба компьютера оснащались оперативной памятью объемом 128 Гб.
Впрочем, даже такого объема оказалось недостаточно для того, чтобы оперировать гигантскими числами, которые были задействованы в процессе вычисления, и исследователям приходилось активно использовать дисковую подсистему.
В результате ученые составили список из 3 148 379 694 конгруэнтных чисел, которые не превышают триллиона.
По оценкам их коллег, в промежутке от триллиона до квадриллиона (1015) должно содержаться еще около 800 млрд конгруэнтных чисел; исследователи планируют проверить это предположение, когда у них появится компьютер с жесткими дисками соответствующего объема.